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Cos’è un'ipersfera? Sostanzialmente, dal momento che è impossibile descriverla visivamente, è un'analogia.
Tutto il discorso che seguirà gioca sull'analogia, per cui occorre un pò di immaginazione visiva, ed un pizzico d'intuito, niente di più.

Noi viviamo una dimensione tridimensionale, quindi volumetrica.
Sotto di noi abbiamo altre due dimensioni, la superficie e la linea sempre osservandole dal nostro punto di vista tridimensionale.
Ho volutamente detto superficie e non piano, linea e non retta... spiegherò poi il perchè.

Partiamo dalla retta, questa è per definizione infinita, così come sono infiniti i numeri naturali N ; 1, 2, 3....
Una retta può "deformarsi" ed allora diventa una linea, se poi questa si richiude su se stessa (tornando al punto d'origine) diventa una linea-chiusa, un caso particolare della linea-chiusa, la circonferenza.

Il deformarsi della retta in linea è già un'ottica dal punto di vista del piano...Cerco di spiegarmi, immaginiamo che su una retta vivano degli esseri puntiformi, la cui unica dimensione sia quella rettilinea appunto.

Come dire hanno occhi solo per guardare dritto davandi a sè, nè di lato, nè sopra o sotto. Il "di lato" o il "sopra e sotto" per loro proprio non esiste.
Dal loro punto di vista non c'è differenza tra retta e linea, perchè l'incurvatura (deformazione) della retta è fuori dalla loro dimensione.
E qui viene il primo esempio di differenza tra infinito e illimitato.
Per un tale essere una curva tipo la circonferenza è infinita in quanto nella sua dimensione è percorribile infinitamente. Dal punto di vista bidimensionale, del piano, la circonferenza è invece illimitata ma finita.
Cioè la circonferenza è una linea finita, sebbene percorribile illimitattamente.
Per quanto riguarda il piano si verificano le stesse analogie; un piano (rettilineo per interderci) può deformarsi (in questo caso da un punto di vista tridimensionale-volume) assumendo per nostra comodità visiva la forma di una superficie sferica.
Per un'essere bidimensionale, che vive una condizione piana, la superficie di una sfera è fuori dalla sua dimensionalità. Per quest'essere esiste solo il piano, lui stesso è una forma piana, e analogamente a prima, in questo caso un essere del genere ha occhi per guardare solo dritto o di lato, ma non sopra e sotto, inquanto il "sopra e sotto" non esiste proprio per lui.
Anche qui si ripresenta la stessa analogia retta-circonferenza, in questo caso piano-superficie sferica. Anche qui la superficie sferica è finita ma illimitata, sebbene ad un essere che vi vivesse sopra parrebbe infinita in tutte le direzioni.

E qui arriviamo al dunque, siamo partiti dalla retta osservata dal piano (cerchio), per passare al piano osservato dal volume (sfera) per finire.... al volume osservato dall'iperspazio (ipersfera).
Quindi tra lo spazio tridimensionale e l'iperspazio intercorre lo stesso "salto dimensionale" che è intercorso tra retta, piano, volume.
Dal punto di vista del volume, guardando a ritroso, la linea può assumere zero deformazione, ed avremo la linea-retta, oppure una prima deformazione, ed avremo linea che si sviluppa su un piano (deformandosi su un piano), oppure due deformazioni ed avremo una linea che si sviluppa nel volume, deformandosi rispetto a tutti e tre gli assi spaziali...per capirci.
Quindi abbiamo esperienza di queste realtà retta, piano (a ritroso) e volume (corrente)....il punto si proietta nella retta, la retta nel piano, il piano nel volume.
Posta questa scaletta dimensionale nulla ci vieta di pensare che il volume sia un caso particolare di una "quarta dimensione" a cui è stato dato il nome di iperspazio. Intendo dire che nell'iperspazio la sfera stessa diventa un caso particolare di ipersfera, così come nel nostro spazio la superficie sferica è un caso particolare di piano (un piano incurvato).
E così come la sfera è un'oggetto dello spazio tridimensionale, l'ipersfera è un'oggetto dell'iperspazio che include le dimensioni precedenti quali casi particolari, sfera, cerchio, circonferenza, retta.
Se siete arrivati fin qui e avete capito l'analogia base, da qui possono partire tutte una serie di analogie ma in questo caso rivolte verso l'alto.
La prima, per comprendere gli esempi a seguire, è la seguente: Prendiamo come punto di vista-base il nostro (quello tridimensionale) e osserviamo gli accadimenti su una superficie sferica (una dimensione più in giù, ma osservata dalla nostra) per riportarli, per analogia, alla nostra dimensione ma osservata da quella superiore dell'iperspazio (??? :-)

Quindi ciò che dedurremo valido per una "forma-piana" che vive una realtà piana, lo trasleremo ad una forma-volume (noi) che vive una realtà volumetrica.

Allora la prima constatazione è che su una superficie sferica nessun punto possa essere considerato il centro della superficie. Ovvero in qualsiasi posizione della superficie si trovi una forma piana questa non possa considerarsi essere nè al centro, nè in periferia (non essendoci un centro e quindi nemmeno una periferia).
Traslando...nessuna forma-volume nel nostro universo-volume può considerarsi al centro, perchè non c'è nessun centro (dell'universo), nè tantomeno in periferia. Viene anche di conseguenza che così come una superficie sferica non ha nessun "bordo-limite" (illimitata) pur essendo finita nella sua dimensione superficie, altresì il nostro universo non ha nessun bordo-limite volumetrico, pur essendo finito nel suo volume ipersferico.
Per andare nel concreto, nessuna galassia gode di una posizione privilegiata di centro dell'universo così come nessuna ne è alla periferia. E, così come su una superficie sferica non esiste nessun centro, altrettanto il nostro universo non ha nessun centro. Così come un essere bidimensionale, che viva sulla superficie di una sfera non avendo un concetto di curvatura del piano, vive la superficie sferica come un piano infinito, pur essendo invece finito ma illimitato, noi altresì viviamo il volume del nostro universo in termini infiniti, pur essendo finito seppure illimitato.
Questa astrazione di universo senza centro e senza bordi, finito ma illimitato la ebbero in molti prima di Riemann, che la formalizzò matematicamente in una celebre conferenza nel 1854, "Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria". Un teologo francese del XII sec, tale Alain de Lille, scrisse "Dio è una sfera intelligibile, il cui centro sta dappertutto e la circonferenza in nessun luogo".
Giordano Bruno, finito sul rogo forse anche per questo, scrisse nella sua "De la causa, principio e uno" ...."Possiamo affermare con certezza che l'universo è tutto esso centro, o che il centro dell'universo sia dappertutto e la sua circonferenza in nessun luogo".

Una seconda constatazione che personalmente mi affascina ancora di più è la seguente: partendo da un qualsiasi punto sulla superficie sferica e mantenendo una direzione rettilinea si ritorna necessariamnte al punto di partenza. Questo avviene perchè un percorso rettilineo su una superficie sferica coincide con una delle circonferenze passanti per quel punto. Ampliando questo concetto consideriamo un cerchietto puntiforme sulla superficie sferica, e poi immaginiamo che questo cerchietto si vada allargando come le onde in uno stagno quando si butta un sasso. Queste onde, circonferenze concentriche arriveranno a coprire la circonferenza massima della della sfera, per poi rimpicciolirsi sempre più in un punto diametralmente opposto al punto di origine.
Traslando il discorso al volume si potrebbe dire che se potessimo gonfiare la terra questa arriverebbe ad un massimo (il volume finito dell'universo visto dall'iperspazio) per poi continuare a gonfiarsi, ma questa volta rimpicciolendo sempre più fino a coincidere in un punto. Non è chiaro?

Torniamo all'essere sulla superficie sferica e alla sua ottica. Dal suo punto di vista quello che viene visto da un'ottica tridimensionale il punto di massima circonferenza, per lui in effetti non esiste, per lui è tutto un espandersi sino a coincidere "improvvisamente" in un punto. Lo stesso accade al volume, c'è una continua espansione questo perchè dal punto di vista tridimensionale il momento di massimo volume non viene percepito, non esiste. Il volume va sempre aumentando sino a che improvvisamente collassa, coincide nel punto. Non chiedetemi cos'è il punto perchè, a parte le solite definizioni, sfugge ad ogni spiegazione.
Per quanto ne so il punto potrebbe anche essere anche l'illuminazione, la realizzazione.
Mi piace pensare che tutto parte da questo ineffabile punto ed al punto ritorna.
Del resto tutte le dimensioni, dalla prima, la retta-linea a tutte le sucessive, piano, volume....hanno come base-supporto proprio quel fatidico punto.
Senza di "lui" non ne avremmo nemmeno una di dimensioni.
Vi ricordate quando si portava l'analogia "figurativa" della comprensione, il comprendere quale un'espandersi della sfera-coscienza che va ad inglobare etc etc....bene questa sfera-coscienziale (figurata) è destinata a coincidere, al culmine della sua espansione, con il punto.

Bel mistero il punto...

Per tanti versi anche il serpente che si sovrappone alla corda è una sovrapposizione dimensionale, una cecità dovuta alla dimensione che viviamo. Siamo prigionieri della nostra stessa dimensione, del nostro stesso "volume" così come per l'essere bidimensionale il piano è tutta la sua realtà, tutto il suo serpente e non si accorge della corda, curvatura-deformazione del piano.
Il buffo è che per un'essere del genere che cogliesse la tridimensionalità, non cambierebbe di nulla la sua vita quotidiana, ma la sua ottica della realtà sì. Come dire che il serpente non è altro e diverso dalla corda, ma solamente un'ottica particolare, un grado di verità, così come la superficie di una sfera non è altro e diverso da un piano, solo che è un piano particolare, un piano incurvato.

Marco - ML AV

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